π
Sabemos que si dividimos la longitud de la circunfencia por su diámetro, obtenemos un valor constante denominado (pi) y representado por la letra griega ∏ (de peripheria, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo). Es decir L/D= ∏, o bien, decimos que 2∏r=L y como 2r=D, tenemos que ∏.D=L o L/D=∏.
En donde:
r= radio de la circunferencia.
D= diámetro de la circunferencia.
Pero resulta que el valor de ∏ es un número irracional igual a 3,141592654…………………, es decir, no se puede expresar dicho número como una fracción de dos números enteros y también es un número trascendente, o sea que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros como lo demostrara el matemático alemán Ferdinand Lindemann en el siglo XIX y tampoco puede ser aproximado por una secuencia de racionales “rápidamente convergente”.
En donde:
r= radio de la circunferencia.
D= diámetro de la circunferencia.
Pero resulta que el valor de ∏ es un número irracional igual a 3,141592654…………………, es decir, no se puede expresar dicho número como una fracción de dos números enteros y también es un número trascendente, o sea que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros como lo demostrara el matemático alemán Ferdinand Lindemann en el siglo XIX y tampoco puede ser aproximado por una secuencia de racionales “rápidamente convergente”.
Vaya, vaya, éste numerito sí que ha dado trabajo a los matemáticos durante siglos y siglos, que les parece!
Muchos matemáticos han tratado de encontrar la mayor cantidad de decimales posibles e incluso muchos han buscado inútilmente encontrar un valor racional, todos estos intentos no han llevado consigo más que frustración, debiendo aceptarse la realidad, de que aún hoy y probablemente nunca se obtenga el valor completo, exacto de éste misterioso número.
Si se mide con una cuerda la longitud del diámetro, se sabe que la longitud de la circunferencia será tres veces la longitud de la cuerda más una fracción de la misma, lo paradójico es que nunca se conocerá con precisión el trozo de cuerda faltante, por lo menos desde el punto de vista teórico.
En efecto, la longitud de la circunferencia es:
L= πxD= 3,1415926……x D= 3xD+0,1415926….xD, es decir, la longitud de la circunferencia es tres veces la longitud del diámetro más 0,1415926……veces la longitud del diámetro, que no se puede representar por medio de una fracción y entonces se confirma lo dicho precedentemente.
Fue en Grecia en donde la relación entre el diámetro y el perímetro de la circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más grandes enigmas a resolver.
A lo largo de la historia se le han asignado muchos valores a la relación L/D, por ejemplo en la biblia se le otorgaba el valor 3 según se puede leer en 1Reyes 7,23.
“Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor un cordón de treinta codos”.
Es decir, 10 codos de diámetro y 30 codos de perímetro.
Un método práctico y utilizado ya por el matemático griego Arquímedes en el siglo III A.C. consiste en aproximar el círculo con polígonos regulares inscriptos, cuántos más lados tenga un polígono tanto mejor será la aproximación a la longitud de la circunferencia.
Hoy en día con los modernos ordenadores se pueden obtener aproximaciones increíbles con millones de decimales exactos.
En el año 1995, la Universidad de Tokio obtuvo con una Súper Computadora 4.294.960.000 decimales!!
Con el renacimiento los trabajos de ciclometría y con el desarrollo de la física como ciencia moderna, la utilización del valor del número (pi) se hace preponderante, incluso en la trigonometría es imposible dejar de nombrarlo para las distintas funciones, por ejemplo, el período de la función seno es 2∏ y como ésta función describe perfectamente el comportamiento de la corriente alterna de uso doméstico e industrial, en circuitos eléctricos, se la ve muy a menudo en cálculos de resolución de circuitos e incluso en números complejos, ya que éstos describen con mayor sencillez las fases y las intensidades (módulos) de circuitos eléctricos de difícil resolución por métodos convencionales.
Seguramente, ni los griegos habrán imaginado la importancia que tomaría éste escurridizo número, ¿Por qué escurridizo?, ya lo veremos.
Habitualmente utilizamos solamente dos a cuatro decimales para representar al número ∏, y verdaderamente no se necesitan más para obtener valores muy aproximados que para nuestra vida práctica son suficientes, pero no obstante siguen siendo aproximados y tanto más exactos mientras más decimales utilicemos.
Si trazamos imaginariamente una circunferencia cuyo radio tenga la distancia media de la tierra al sol, es decir unos 150.000.000 Km, y utilizamos 16 decimales para el valor de ∏ el error cometido sería el espesor aproximado de un cabello! y si utilizamos 40 decimales, podríamos trazar una circunferencia con el radio desde la tierra a la nebulosa más lejana, unos 25.000 años luz , o sea, 23651325E17 km y obtendríamos el mismo error!, entonces ¿para qué afanarse en buscar todas las cifras?, si para los fines prácticos y cotidianos son más que suficientes dos a cuatro decimales y una calculadora sencilla nos da 9 o 10 decimales, que prácticamente en ningún caso los usamos todos.
De cualquier modo no deja de resultar interesante hacer algunas conjeturas con éste numerito y sus aplicaciones en geometría euclidiana.
Antes analicemos brevemente la geometría euclidiana y sus postulados.
Euclides fue un matemático y geómetra griego que vivió alrededor del año 300 A.C., en aquella época se los llamaba pensadores o filósofos de la naturaleza y eran considerados sabios.
Escribió los famosos postulados o pilares sobre los que se basa la geometría y sus aplicaciones, tal cual la conocemos y aplicamos hoy en día ya que resulta muy útil y práctica para casi todas nuestras necesidades básicas, no nos olvidemos que existen también otras geometrías con otros postulados utilizadas especialmente por científicos y profesionales en distintas áreas de la matemática y la ciencia, algunas no dejan de ser anecdóticas o puramente teóricas, en algunos casos creadas para tratar de demostrar o desacreditar el quinto postulado de Euclides y que la geometría euclidiana es la que mejor se adapta a nuestro mundo físico, es por ésta razón que ésta geometría es la que se enseña mayormente en las escuelas y colegios, llegando a pensarse que no existen otras normas geométricas más que éstas, pero ésto está muy lejos de ser así.
Como dijimos la geometría euclidiana, es la que mejor se adapta para nuestro mundo físico terrestre y a distancias relativamente alejadas de nuestro planeta el error es mínimo, además se destaca por la armonía de la presentación de Euclides en su famoso libro “LOS ELEMENTOS”, una obra monumental aunque no muy didáctica que digamos, por la complejidad de sus exposiciones, se cuenta que en cierta ocasión el rey Ptolomeo le preguntó a Euclides si es que no existía otro camino para aprender geometría que no fuera basándose en “LOS ELEMENTOS”. A lo cual Euclides contestó que no existe ningún método en particular para los reyes, pero es sin dudas el libro más importante de la geometría y se basa en cinco postulados, a saber:
Éste último postulado es el más controversial de todos y se puede observar que más que un axioma parece un teorema, pero en más de dos mil años no se ha podido demostrar ni negar el mismo y habitualmente se lo menciona de una manera más simple aunque equivalente:
Otro de los métodos descripto en su famoso libro es el algoritmo para calcular el máximo común divisor M.C.D., que lo utilizamos hoy en día ligeramente modificado.
Luego de un breve y placentero paseo por los albores mismos de la geometría, volvamos a nuestro tema principal, la circunferencia, su longitud, su diámetro y el interminable y famosísimo número ∏ o 3,1415926535897932384626433832795………….....uf!
Como dijimos el cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro da un número constante al que llamamos ∏, o sea que el producto del diámetro por pi nos da la longitud de la circunferencia (∏.D=L), esto nos está indicando que si conozco con exactitud el diámetro de la circunferencia no me es posible conocer exactamente la longitud de la misma, debido a la irracionalidad del número pi y a la inversa, si conozco la longitud de la circunferencia no puedo conocer con precisión el diámetro de la misma, ya que para esto debería conocer todos los decimales de ∏.
Vayamos a un ejemplo práctico, supongamos que quiero construir una circunferencia de 5 metros de diámetro, ¿cuál sería la longitud de la misma?, entonces utilizando 2 decimales para ∏ tendría:
De la misma forma si conozco con exactitud la longitud de la circunferencia, nunca conoceré exactamente el diámetro, por las razones ya expuestas, y es decir que o bien conozco el diámetro o bien conozco la longitud pero no es posible conocer las dos magnitudes con precisión y en simultáneo, sin embargo las aproximaciones obtenidas son muy buenas y aceptadas con benevolencia, o más bien con resignación?
Han pasado más dos mil años desde que los griegos han relacionado a la longitud de la circunferencia con su diámetro y más de 300 desde que se le asignara un nombre y una letra al valor conocido de pi como factor del cociente, pero la incertidumbre permanece.
Antes de comenzar a escribir éste artículo no pensaba que el número pi desataba tantas pasiones en el mundo entero al punto tal de encontrar personas que recitan diariamente cientos o miles de sus dígitos de memoria y otros tantos siguen buscando más y más dígitos manualmente, aún hoy en día, y hasta se le ha asignado una fecha de cumpleaños!!,….el 14 de Marzo, en donde se realizan concursos de matemáticas en distintos colegios del mundo….feliz cumpleaños a pi, feliz cumpleaños a pi…..jaja!!.
Definitivamente éste numerito, y a pesar de todo ha sabido ganarse el aprecio de la comunidad científica y estudiantil.
Como hemos visto y a pesar de los esfuerzos de muchos, la incertidumbre matemática seguirá……per saecula saeculorum.
